分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，但很多人常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。在涉及分式方程增根与无解的问题常有两类，现举例说明如下：
一、求解和判断分式方程的根
此类题应按照解分式方程的步骤和方法求出方程中未知数的值，因为在去分母时有可能会使分式方程产生增根，所以求出的未知数的值必须进行检验，具体就是把未知数的值代入最简公分母中求值，若最简公分母的值等于0（即分母为0），则该未知数的值为分式方程的增根，即分式方程无解；若最简公分母的值不等于0，则该未知数的值就是分式方程的根。
例1． 解方程 ． ①
解：在方程两边同时乘以（x＋2）（x－2），
得：2（x＋2）－4x＝3（x－2）． ②
解这个方程，得x＝2．
检验：把x＝2代入（x＋2）（x－2）中，
得：（2＋2）（2－2）＝0．
所以x＝2是原方程的增根．
所以原方程无解．
【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠－2，而在去分母化为整式方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数，所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根，本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解。
例2． 解方程 ．
解：在方程两边同时乘以x＋2，
得：x－1＝3－x＋2（2＋x）．
整理得0x＝8．
因为此方程无解，
所以原分式方程无解．
【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了，由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．
二、已知分式方程增根或无解，求待定字母的值
此类题可视为一类题型的逆题，在解答方法上亦应按照解分式方程的步骤和方法求出方程中未知数的值，所不同的是该未知数的值含有待定字母，然后根据题目要求，若是增根，则根据分式方程产生增根的原因是由于最简公分母的值为0，把未知数的值代入最简公分母中，令最简公分母的值等于0，即可求出待定字母的值；若是无解，除了增根的情况之外，还要讨论去分母后得到的整式方程无解的情况。
例3．当a为何值时，关于x的方程 会产生增根？
解：在方程两边同时乘以（x＋2）（x-2），
得：2（x＋2）＋ax＝3（x－2）
整理得（a－1）x＝－10
即：x＝ （a≠1）
由原分式方程有增根知，把x＝ 代入（x＋2）（x－2）中，并令其值等于0，
即：（ ＋2）（ －2）＝0
得： ＝－2或 ＝2
解得， a＝6或a＝－4．
所以当a＝6或a＝－4时，关于x的方程 会产生增根。
【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，进而求出未知数的值，然后根据分式方程产生增根的原因是由于最简公分母的值为0，把未知数的值代入最简公分母中，令最简公分母的值等于0，即可求出待定字母的值。
若将此题“会产生增根”改为“无解”，又会怎样呢：
例4．当a为何值时，关于x的方程 无解？
解：在方程两边同时乘以（x＋2）（x－2），
得：2（x＋2）＋ax＝3（x－2）
整理得（a－1）x＝－10 ①
由原方程无解，则有两种情形：
ⅰ.当a－1＝0，即a＝1时，
方程①为0x＝－10，
此方程无解，
所以当a＝1时，原方程无解。
ⅱ.若方程①的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解。
所以当a－1≠0，即a≠1时，x＝
把x＝ 代入（x＋2）（x－2）中，并令其值等于0，
即：（ ＋2）（ －2）＝0
得： ＝－2或 ＝2
解得， a＝6或a＝－4．
所以当a＝6或a＝－4时，原方程无解。
综上所述，a＝1或a＝6或a＝－4时，原分式方程无解。
例5．若方程 ＝ 无解，则m＝ ．
解：原方程可化为 ＝－ 。
在方程两边同时乘以x－2，
得：x－3＝－m．
解得：x＝3－m．
因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．
所以把x＝3－m代入x－2中，并令其值等于0
即：3－m－2＝0，
解得：m＝1．
故当m＝1时，原方程无解．
【说明】该题在去分母后求出的未知数的值时，未知数的系数是常数，无须讨论，要满足原方程无解，这个根必是原方程的增根，但并不能因此认为有增根的分式方程一定无解。
通过以上分析和解答，我们应该清楚分式方程的增根与无解是两个不同的概念，它们有区别也有联系，但在实际运用中往往会把分式方程无解等同于分式方程有增根，尤其是二类题型，若是这样，解题思路和方法就会出现错误，就会出现有的老师或资料上介绍的“先令最简公分母为零求出增根，再将原分式方程去分母化为整式方程，然后把增根代人整式方程中，求出待定字母的值”这一错误解法。下面仍以例子说明问题：
例6．若关于x的分式方程 － ＝1无解，试确定a的值。
若按上面的方法，有如下解法：
解：令最简公分母x(x－1)＝0，
得方程增根x＝0或x＝1，
再将原分式方程去分母，化为整式方程得x(x－a)－3(x－1)＝x(x－1)，
即：(a＋2)x＝3，
把增根x＝0或x＝1代人整式方程(a＋2)x＝3中，
当x＝0时，a无解；当x＝1时，a＝1.
所以当a＝1时，关于x的分式方程 － ＝1无解。
以上解法咋看似乎没有问题，但其实这种解法是错误的，进一步研究发现，实际上x＝0并不是原分式方程的增根，因为原分式方程增根必须是去分母化成的整式方程的解。下面给出正确解法：
解：在方程两边同乘以x(x－1)，
得：(a＋2)x＝3
由原方程无解，则有两种情形：
ⅰ.当a＋2＝0，即a＝－2时，
得：0x＝3
该整式方程无解，原分式方程无解。
ⅱ.当a＋2≠0时，x＝ 为整式方程的解
由题意，原分式方程无解，则x＝ 应为原分式方程的增根
所以 ·[ －1]＝0，
因为 ≠0，
所以 －1＝0，
解得：a＝1
所以当a＝1，原分式方程无解。
综上：当a＝－2或a＝1时，分式方程 － ＝1无解。
