在最近研制完成的《高中数学课程标准》中，对函数概念的学习有这样一段描述：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不但象义务教育阶段那样，把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数是数学和其他学科的基础，并能够初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。为了加强不同内容间的有机联系，学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的联系，体会函数图象是理解和研究函数的直观工具。
在现行教学大纲中，对函数内容的学习没有提出这样总的要求，而是根据具体的知识点提出了相应的要求。实际上，从上个世纪初的数学教育改革运动（克莱茵──贝利运动）提出“以函数为纲”的口号以来，函数内容一直都是中学数学的核心内容，但非常遗憾的是，函数也是广大中学生感到最难学的内容，而且对函数学学习的困难到底是怎样产生的，函数学习的心理机制是怎样的，如何帮助学生克服函数学习的困难，如何提高函数教学效果等问题，一直没有得到很好的解决。今天我们来谈一谈这个问题，大概的思路是根据我本人的教学经验、课堂观察以及一些理论思考，从历史的、心理学的观点来分析一下函数学习困难产生的原因，并对函数学习困难的排除提出一些建议。
一、历史背景
函数概念已成为现代数学的基本思想之一，它渗透到了数学的一切领域。它是数学知识体系的有力基础，但它是学校数学学习中最难掌握的概念之一。函数概念具有复杂性层次，同时还有与之相应的众多次概念，这是函数概念难学的原因之一，因为甚至在最初等的水平上，函数也可以根据不同情境做出不同处理，并由此而产生各种不同的困难。过去，函数概念的掌握，或任何数学概念的掌握被简单地归结为一个任务系列：给学生提供一个条理清晰、结构合适的练习来展现概念的各个方面，让学生理解、内化和掌握这个概念。但实践表明这是一种理论幻想。迄今为止，尽管对数学概念掌握的过程进行了大量研究，但仍然无法知道人们是如何学习数学概念的，学习发生的内在机制还是未知的。我们甚至还不知道如何对儿童进行自然数排序的教学。儿童最终学会了数数、大小顺序等等，而且我们能够粗略地验证学习过程的各个阶段，但它们是如何发生的，在这个过程中儿童经历了哪些基本体验仍然是一个谜。获得函数的深刻理解也是一样的。让学生按照我们事先设定的体系学习的目的是给儿童打下继续学习数学的逻辑基础，但实践表明，纯粹按照数学的逻辑体系（它往往与数学概念原产生过程相反，就如同分析法与综合法的关系一样）进行学习，过分形式化的体系是与学生的数学认知规律相矛盾的，是造成数学学习效果不良的主要原因。
新数运动中，有人建议把函数概念作为中小学数学的统一要素，中国也有“以函数为纲”的提法，认为“不迟于6年级函数一词…（及其背后的思想）应当牢固地建立…”，“像…函数…的概念从很小的儿童就能够初步介绍，并且反复应用直到建立起深刻的理解。我们相信这些概念纳入课程不是因为它们是现代的，而是因为它们在组织教材中有用”。虽然许多人一开始就看到函数的形式化处理方法不利于学生形成函数概念，但仍然广泛地在课堂上出现。
教科书为了定义函数概念而设置的各种不同引入情境，如箭头、表、代数描述、作为输入—输出黑箱、映射（集合与对应）等等是大家熟悉的。所有这些处理方法中用映射的处理方法似乎是教学上最弱和最不直观的。这里，函数被定义成两个数集之间的映射，要求“集合A中任意一个元素在集合B中有唯一的一个元素与之对应”。这一似乎非常容易理解的定义在教学实践中被证明是非常抽象而且难懂的。可以毫不夸张地说，函数定义的这种处理方法是一种把严格的形式强加给学生的方式，学生不但缺乏认知准备，而且在学习中也没有得到理解定义所必须经历的过程，因此，教师并没有给学生营造理解函数定义的环境。这样，学生除了能够背诵定义的条文以外就再也没有别的了。
形式化的处理方法是希望学生能够按照数学的严谨性标准来理解概念，而且希望这种深刻的理解能够得到迁移。也就是说，只要学生真正理解了数学的基本原理，那么这种原理就会在处理其他问题时得到自觉的应用。但实际上这种迁移并不容易发生。理论要应用于实践还需要有一个过程，更何况，理论应当来源于实践。学生理解了幂、指、对函数的定义（当然这一理解是十分困难的）和性质，并不一定能够迁移到三角函数的学习中去。教材以及教师经常说的“显然”对学生来说并不显然。因此，对于任何一种函数，在形成概念的过程中，教师都需要十分精心地进行设计，主要是要为学生提供足够的机会，来经历概念的发生和发展过程，任何用形式化的语言直接揭示概念定义的做法都是不可能收到好的效果的。在数学概念的教学中，过程的浓缩会造成学生认知的极大困难。教学实践也表明，用函数思想处理问题对学生来说是非常困难的。例如，用函数单调性来讨论某些不等式，如已知a、b、m都是正数，且a＜b，求证：。实际上，函数的学习困难伴随了大多数中学生的整个数学学习过程。
二、学习理论中的困难
当前，认知心理学关于数学学习的理论探讨还处于“初级阶段”，能够用来较好地解释数学学习内在机制的理论还没有形成。因此，对函数学习是如何发生发展的、学生在学习过程中的思维机制如何的研究任重而道远。函数渗透在数学的每个角落。普通加法和乘法的二元运算就可以看作从R×R到R的映射；方程的解与函数的零点相对应；代数不等式、三角不等式问题可以从函数取值情况分析或函数单调性来考虑，等等。构成中学数学课的主要组成部分的一切技术都可以用函数思想加以讨论。实际上，这就是现在非常流行的所谓“函数模型”。那么，所谓的“函数思想”到底是如何形成的？数学家为什么习惯于从函数思想出发思考和解决问题？学生的函数学习困难到底是如何发生的？在学习函数概念时的错误为什么会产生？有没有普遍适用的克服函数学习困难的“药方”?
函数概念的教学到底应当依照怎样的模式？目前国际上比较流行的有三种数学学习理论，它们试图描述如何学习数学概念，已经被应用到函数的学习上。
1．Gagne(1970)的累积式数学学习理论，它是奠基在行为主义框架内的。他认为，学习能够引起行为的改变，改变是可见的，因而是可测量的。所以，学过课题X的证据是能够完成一组与X有关的任务。他把课题X分解成子课题并把子课题分解成它的先决条件(pre-requisite)。对于每个子课题都有一组任务，它们都能用作掌握该子课题的证据。先决条件树伸展、继续伸展直到能够假设对一特定水平的一切任务都在学习者的知识基础之内。这就是说，Gagne建立了一个任务的等级制度(hierarchy)，必须通过它一步步去掌握一个特定的课题。当然，这种等级制度和真实的学习并不完全符合。低层次的学习是否一定导致下一阶段的学习还需要更多的证据，另外，把学习任务分得过细有导致低水平细节干扰知识整体把握的危险，所谓的“见木不见林”。
奥苏伯尔有“逐渐分化”、“综合贯通”和“提供先行组织者”的教学策略。
2．Schoenfeld等认为，知识的获得必须通过四种水平的理解：
水平1关系到在模式水平上知识的宏观结构。例如，在直线方程L：y=mx+b中理解m和b分别表示斜率和y-截距。
水平2知识要素的具体界定、特例分析以及对某些限制条件等──对知识的细节处理。例如，如果m>0，直线上升，如果|m|大，直线陡，点(0，b)是直线的y-截距，等等。
水平3和支持知识的上层结构有关系──对知识联系性的处理。比如认清过已知两点的直线斜率：（y2－y1）／(x2—x1)、能够考虑作两个有向线段之比和认清在y=mx+b中当x=0时就得到它的y-截距。
水平4是在超出熟悉情境和个体建构在水平3上看到的概念要素的时候──知识综合的、创造性的应用。
要深刻理解任何一个课题都必须通过这些水平。
这个理论描述的学习过程显然是从整体到细节分化，再到综合应用的路线。这个理论对学习过程的理解仍然处于“外部描述”。
3．Dubinsky的学习理论使皮亚杰理论的各方面适合去掌握数学概念。每个个体通过反映性抽象构建他自己的数学知识。这个理论关心这一途径：过程内化成常规，浓缩成概念，
(一个程序跟另一个程序)协调，(反向进行)逆和在更广的范围内一般化。
Dubinsky相信，个体的数学知识和他对所见问题情境的反应倾向有关，他将根据自己对问题情境的解释，通过(重)建(新)模式去处理这种情境。学习是有情节的。他分析这种情节并给这门学科部分指令去产生他所谓的发生分解，然后研究发生分解如何和学生的模式紧密配合。
