中国高校之窗

五、抽象、符号和焦虑

函数及其相应的子概念具有抽象的各种程度。随机地打开任何一本数学杂志或者教科书，数学符号和公式会随处可见。学生常常会浏览这一页看看符号和公式是否熟悉。如果其中有许多是他们不认识的，那么他们的脑子里立即会蹦出一个字：难！他们会想，需要花多少时间和精力才能理解所写的是什么呀！这会引起学生的焦虑。而且这种感受在我们的学生中比较普遍。我们知道，学生对数学内容的这种感觉主要是因为数学语言与他们熟悉的日常语言之间的差异很大，数学语言具有最大的抽象性，抽象是数学研究的一切。这种抽象性和它在课堂里的快速推进常常是造成许多学生数学学习失败的主要原因。虽然抽象有层次性，例如函数概念就可以在各种不同的抽象水平得到表述。但是，对于自己已经熟悉了的内容，教师经常不去分水平，“这还不容易吗”是我们经常听到的。例如，“两角和与差的三角函数”中，得到再求，需要用一个同余变换，老师常常认为这是非常容易的，但从我的实践看，情况并非如此。心理学的研究表明，教师在教学中出现的这种情况比较普遍，他们已经掌握这个课题并且也期望他们的学生及时这样做。实际上，教师水平的高低、功夫深浅的标志之一就是能否“从学生的角度看问题”，这也是对学生的要求把握在一个怎样的“度”上的问题。“欲速则不达”是常识，但在实践中却很难把握。更加值得注意的问题是，如果数学教师把那种“这太容易了”的意思通过某种方式（常常在无意时下，在不经意之间）传达给学生，而学生又确实感到不容易时，那么学生会放弃努力，在开始学习之前就泄气了。心理学把学生出现的这种情绪叫做数学恐惧症或焦虑，而且这是数学学习失败的原因之一，即在很多情况下，学习失败是感情(情绪)原因而不是认知原因。当然，数学焦虑不仅是学生的事情，数学教师甚至数学家也有他感觉不舒服的数学领域。

虽然数学焦虑是多方面的，但符号的复杂性常常是理解函数概念的障碍。符号问题过去不太被注意，现在国外有专门的论述，把它称为“数学表示”符号困难在初等数学的每个地方都潜伏着。在函数概念的学习中，符号引起的学习困难常常表现在如下的一些方面：

1．所造成的理解困难。

我们知道，它表示的是这样的一个“过程”与“结果”的统一体：x在函数f下的对应值为y，而且这里的f必须是一个映射，这个符号的内涵非常丰富，而且也非常复杂。实际上，许多学生在高中毕业了也没有真正搞明白到底是个什么。在我们的教科书中，映射被表示成f：AB，它抓住了映射的动态的一面。如果学生能够把函数真正理解为一种特殊的映射（非常遗憾，许多学生并不这样看），那会有利于全面而深刻地理解函数，并对后续的学习也有好的作用。例如，它有利于理解复合函数，而且它还能够帮助学生进一步理解自变量概念。这样，学生在讨论函数的单调性问题就会减少一些困难。再如，已知，那么使的x值是多少？许多学生解这个问题的时会出现困难。但如果把问题的叙述方式改变一下：函数f（x）以2、4为零点，那么，多少乘4可以使f（x）=0？由于文字语言把对应关系叙述的具体明确了，引导了学生的思维，学生解决此问题的困难就大大降低了。数学问题的用词会影响学生回答问题的能力。因此，在教学过程中，经常要求学生用自己的语言重新叙述问题是减轻数学问题的抽象程度的一个有效手段。

我们再来看一下学生对函数定义的理解。实际上，造成上述求零点问题困难的原因仍然在对函数定义的理解上：“对于A中的任意一个数，在B中有唯一的一个数与之对应”，这里的“任意”二字是不容易把握的，实际上，学生常常不能认识到，函数把定义域中的每个点转换到新的数值。直到理解这一点以前，像已知f(x)的零点求f(kx)的零点这样的问题就不能够充分地理解。

2．用参数形式来把函数形象化也证明是极端困难的。

例如，考虑下列问题：

对于每个实数x，f(x)是数的最小值．f(x)的最大值是什么?

问题中涉及到三个量，可以从参数的角度看待它们，如令y1=4x+1，y2=x+2，y3=－2x+4，而f(x)=min{y1，y2，y3}。这时，如果将上述三个函数在直角坐标系中表示出来，也即利用参数将函数形象化，那么，问题将迎刃而解。但实践表明，学生的困难很大。

3．反函数学习中的困难。

反函数的学习中，符号的理解困难是众所周知的。为什么会有如此大的困难？从数学思维的角度看，这里涉及了逆向思维的使用问题，人有思维定势，从另一个角度思考问题是困难的，逆向思考问题就更不容易了。例如，用数学语言表述的下列问题：已知f(g(x))和f(x)求g(x)；或已知f(g(x))和g(x)求f(x)的解决，涉及到逆向思维。

（已知，求的值之类的问题，学生可能会解答，但对于其中的深层次问题，如涉及函数性质方面的，可能就不一定清楚。）

另外，由于反函数实际上是对一类特殊的映射（一一映射）的研究，涉及了许多复杂的概念及其关系（必须把函数与其相应的反函数作为一整体），有许多限制条件，这也是造成学习困难的重要原因。

这里又涉及到对变量概念的理解问题。与表示的是同一个函数，只是因为习惯使然，数学中一般使用来表示反函数。这对教师来说不成问题，但对于学生来说，问题是非常大的。从根子上来说，仍然是对变量概念的理解和把握有困难。即便他们常常有求解反函数所需要的一切技能，学生仍然需要时间来内化这些技能包括用这种方法处理函数。在教师的头脑中必须总是有认知心理学关于自动性的告诫：数学概念对学生不是自明的，即使经过我们对它们的清楚说明。

六、表达性困难

教学实践表明，对大多数学生来说，符号、记号等等越多就越复杂，实际上对教师自己来说也是这样的。

符号常常是学生出问题的原因，即便符号所表示的基本思想是简单的，而对于函数这样的具有多样性、丰富性和复杂性的概念的符号表示则更是如此。数学学习焦虑，常常是因为过分热衷于使用符号和抽象的“心智”过程而而引起。当人们看到通篇都是数学符号的数学著作时，产生“头都大了”的感觉是非常自然的。数学家说，好的数学不必是复杂的数学，而复杂的数学也不一定是好数学。爱因斯坦的能量转换公式E=cm2非常简单，但它却表达了宇宙中质量和能量之间的最本质关系。但是，在数学上，虽然人们觉得选择不太复杂而且更直观的符号表述是自然的事情，遗憾的是，过去的似乎并不这样。

七、小结

以上我们总结了学生在学函数概念时存在的某些现象、困难以及从历史的和心理学的观点来看它们为什么会产生。学生在学习过程中表现出的困惑和焦虑似乎阻碍着学习。这里我们要着重指出的是，函数和它们的相应概念没有被形象地表达和这种不形象的方法阻碍了人们函数意识的发展。人们似乎比较习惯于用解析式来表达，其他方式，如图象、表格甚至是文字等，在人们的头脑中似乎都不被认可。函数，作为表示变量之间依赖关系的模型的思想并不容易形成。学生似乎只用符号表示方式去思考函数。实际上，在人们的心目中，组成数学的大多数课题都是非形象地思考的。应当说，形象思维的欠缺是函数概念乃至整个数学学习的严重障碍。当前，有人肆意否定中国的数学教育，特别是对几何内容的否定，是非常值得我们警惕的

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